Berechnungen am Kreissegment

In der ersten beiden Folgen dieser Artikelserie habe ich gezeigt, wie
1. Excel-Berechnungen am Kreis
2. Excel-Berechnungen am Kreisring
3. Excel-Berechnungen am Kreisausschnitt
durchgeführt werden können.
Mit dieser Folge endet nun die kleine Serie, es geht es um Excel-Berechnungen am Kreissegment

4. Excel – Berechnungen am Kreissegment

(Quelle: ClipArt)

Interessant am Kreissegment, das ist die blaue Fläche in der Abbildung, ist die Sehnenlänge s, die Segmenthöhe h und die Segmentfläche A. In diesem Beitrag will ich erklären, wie diese drei Größen auf zwei unterschiedlichen Wegen mit Excel errechnet werden können.

Berechnung mit mathematischen Formeln

Für die mathematischen Formeln habe ich mir auf der Website www.mathe-physik-aufgaben.de Hilfe gesucht. Übrigens, wenn Du Dich für Mathematik interessierst, diese Site kann ich Dir nur empfehlen.

Die Maße für den Radius, die Sehnenlänge und die Segmenthöhe sollen in cm, die Segmentfläche in cm² angegeben sein.

Die Sehnenlänge

Als mathematische Formel verwende diese:

Als gegebene Größen kannst Du bei den Größen aus den vergangenen Folgen bleiben. Radius r war danach 18 und der Winkel α war 30°.

Mit der Formel in C28

=2*C23*SIN(BOGENMASS(C25/2))

errechnet sich das Ergebnis

= 9,317485624

Schau dazu in die Beispieldatei

Die Segmenthöhe

Die mathematische Formel hierfür lautet:

Für die Berechnung verwendest Du wieder den Radius mit 18 und die gerade errechnete Sehnelänge s.

Die Formel in Excel schreibst Du in C38 so:

=C37-(0,5*WURZEL(4*POTENZ(C37;2)-POTENZ(C39;2)))

und erhälst als Ergebnis

= 0,613335127

Damit liegt auch dieses Ergebnis vor.

Die Segmentfläche

Auch für die Berechnung der Segmentfläche gibt es eine mathematische Formel, sie lautet:

Du siehst, dass für die Berechnung der Fläche nur die Maße für den Radius und den Winkel benötigt werden. Mit der Formel

=(POTENZ(C51;2)/2)*(PI()*(C53/180)-SIN(BOGENMASS(C53)))

errechnest Du schließlich das Ergebnis

= 3,823001647

Das war doch alles sehr einfach, aber es gibt noch eine weitere Möglichkeit der Berechnung.

Ein anderer Lösungsweg

Die Sehnenlänge

In der Abbildung siehst Du den Denkansatz, die Sinusformel vor und nach Umstellung nach a.

Die Formel in Excel umgesetzt lautet:

=2*(SIN(BOGENMASS(C86/2))*C84)

Das Ergebnis ist auch nach dieser Methode

= 9,317485624

Die Segmenthöhe

Die Segmenthöhe lässt sich auch errechnen, indem die Seite b des obigen Dreiecks vom Radius subtrahiert wird. Die Abbildung zeigt dazu die Kosinusformel vor und nach der Umstellung nach b.

Du rechnest mit der Excel-Funktion

=COS(BOGENMASS(C111/2))*C109

die Dreieckshöhe und erhälst als Ergebnis

= 17,38666487

Mit =C109-C114 berechnest Du schließlich die Differenz zwischen dem Radius und der soeben errechneten Dreieckshöhe und erhälst die Segmenthöhe mit

= 0,613335127

Die Segmentfläche

Zur Ermittlung der Segmentfläche sind wieder zwei Schritte erforderlich. Zunächst berechnest Du die Dreiecksfläche. Für ein gleichschenkliges Dreieck gilt (Grundfläche * Höhe) /2. Die Grundfläche ist die Sehnenlänge s, die Dreieckshöhe hast Du gerade berechnet.

Als Dreiecksfläche erhältst Du also 81 cm².

In der vorangegangenen Folge hast Du als Kreisauschnittsfläche 84,82300165 berechnet.

Subtrahiere davon die Dreiecksfläche mit 81. Als Ergebnis bleibt die Segmentfläche, wie oben, mit

= 3,823001647

Wozu braucht man die Segmentfläche?

Nimm einfach mal an, dass ein Unternehmen aus Blechkreisen, r=18, Zwölfecke fertigen will. Der Chef will wissen, wieviel Verschnitt es gibt?

Bei einem Zwölfeck rechnest Du dazu 12 * die Segmentfläche und erhälst

45,87601976 cm², das sind 0,0045876 m².

Bewerte das Blech mit z.B. 39,26 € / m² und Du erhälst die Verschnittkosten je Zwölfeck mit ca. 0,18 €.