Excel-Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck (Teil 1)

Berechnungen am Dreieck, das ist Mathematik, das ist Geometrie oder noch genauer gesagt, das ist Trigonometrie.

„Die Grundaufgabe der Trigonometrie besteht darin, aus drei Größen eines gegebenen Dreiecks (Seitenlängen, Winkelgrößen, Längen von Dreieckstransversalen usw.) andere Größen dieses Dreiecks zu berechnen.“ [1]

So jedenfalls ist es bei Wikipedia nachzulesen. Und genau das soll das Ziel dieser Beitragsreihe sein. Gezeigt werden soll, wie das mit Excel zu bewältigen ist.

Dabei werde ich die bekannten Dreiecksformen rechtwinkliges Dreieck, gleichschenkliges Dreieck und ungleichschenkliges Dreieck nacheinander abarbeiten. Ich beginne mit dem rechtwinkligen Dreieck.

Das rechtwinklige Dreieck eröffnet die Chance, auf Excel-Funktionen zurückzugreifen. Das sind die Funktionen SIN, COS, TAN und ARCSIN, zu finden unter der Kategorie Mathematik und Trigonometrie. Aber auch die Funktionen BOGENMASS, GRAD und WURZEL werden eine Rolle spielen.

Was ist an einem rechtwinkligen Dreieck interessant?

Bekannt ist ein Winkel, nämlich der mit 90°, der rechte Winkel. Die anderen beiden Winkel will ich berechnen. Interessant sind die drei Seitenlinien und der Umfang des Dreiecks. Interessant ist aber auch der Flächeninhalt eines Dreiecks.

Die folgende Abbildung zeigt ein rechtwinkliges Dreieck mit den Eckpunkten A, B und C, den Seiten a, b und c und den Winkeln α und β. Der Winkel γ ist nicht separat dargestellt, denn das ist der 90°-Winkel.

Quelle: ClipArt

1. Berechnung der Winkel

Um den Winkel α zu berechnen, benötige ich die Länge der Gegenkathete und die Länge der Hypothenuse.

Die Gegenkathete ist die Seite a, die Hypothenuse die Seite c.

Um den Winkel α zu berechnen, nutze ich zunächst die Excel-Funktion SIN.

Formel: sin α = a : c

Formel: C48 = C45 : C46

Damit kenne ich aber den Winkel noch nicht. Das sin muss noch weg. Dafür nutze ich die Funktion ARCSIN, hier in zwei Varianten:

Formeln:

a = ARCSIN(D48)

a = ARCSIN(C45 : C46)

Damit habe ich aber noch nicht den Winkel in Grad, sondern in Bogenmass.

Die Umrechnung von Bogenmass zu Grad nehme ich nun vor, indem ich der ARCSIN-Formel noch die Funktion GRAD überstülpe:

Formeln:

a = GRAD(ARCSIN(D48))

a = GRAD(ARCSIN(C45 : C46))

Nun habe ich den Winkel α in Grad vorliegen, gerundet 33,75°.

Bekannt sind nun der Winkel α und der 90°-Winkel. Die Summe aller Winkel in einem Dreieck beträgt 180°. Ich kann somit ganz einfach den Winkel β ermitteln, indem ich rechne:

Formel: β = 180-90-33,7489886

Zusammengefasst hat mein Beispieldreieck diese Winkel in Grad:

α	33,75
β	56,25
γ	90,00
Summe	180,00

In Teil 2 geht es u.a. um die Berechnung der Seitenlängen.

[1] https://de.wikipedia.org/wiki/Trigonometrie