Lösen von Gleichungssystemen mit Excel

(Neubearbeitung 20.07.2021)

Das Lösen von Gleichungssystemen ist bei Schülern eine ganz „beliebte“ Angelegenheit.

Zuerst zeige ich, wie in der Schule eine Lösung herbeigeführt werden kann.

Dann zeige ich, wie es auch mit Excel geht.

Die Aufgabe

Auf einem Bauernhof befinden sich Schafe und Hühner. Sie haben zusammen 45 Köpfe und 104 Füße.

Wie viele Schafe und Hühner befinden sich auf dem Hof?

Die mathematische Lösung

Zunächst stellst Du die Gleichungen des Systems auf. X soll die Anzahl Schafe, y die Anzahl Hühner sein.

Die Summe von Schafen und Hühnern muss 45 ergeben (45 Köpfe).
x+y=45

Die Summe der Beine (Schafe mit 4, Hühner mit 2 Beinen) muss 104 ergeben.
4x+2y=104

Im nächsten Schritt stellst Du eine Gleichung nach einer Variablen um.
x=45-y

In der zweiten Gleichung ersetzt Du x durch 35-y und erhältst
4*(45-y)+2y=104

Jetzt rechnest Du auf der linken Seite.
(4*45)-4y+2y=104
180-2y=104

Daraus ergibt sich:
2y=76
y=38
Die erste Variable ist gelöst.

Das y setzt Du nun noch in die erste Gleichung ein:
X+38=45
X=7

Auf dem Bauernhof befinden sich also 7 Schafe und 38 Hühner.

Lösung mit Excel

Mit Excel ist eine ganz einfache Lösung möglich. Dabei sparst Du Dir die ganze Rechnerei.

In eine Tabelle schreibst Du die Koeffizienten und ihre Ausprägung.

In die Spalte rechts der Tabelle schreibst Du nun die Matrixformel
{=MMULT(MINV(Koeffizienten);Ergebnisse)}.

Formeln:
E3:E4 markieren {=MMULT(MINV(B3:C4);D3:D4)}
(Matrixformel: Eingabe mit Strg + Shift + Enter abschließen)

In E3 errechnet sich so die Anzahl der Schafe, in E4 die der Hühner.

Die Ergebnisse können auch unterhalb der Tabelle ausgewiesen werden, das ist dann deutlicher. Dazu müssen die Formeln zusätzlich transponiert werden.

Kopiere die Ausgangstabelle dazu nach B8:D10 und schreibe in B11:C11 die Formel:
{=MTRANS(MMULT(MINV(B9:C10);D9:D10))}

(Matrixformel: Eingabe mit Strg + Shift + Enter abschließen)

In B11 wurde die Anzahl der Schafe, in C11 die der Hühner errechnet.

So einfach geht das. Ist das kein Grund, sich mit Excel zu beschäftigen?

Die Formel setzt sich aus drei Funktionen zusammen, dazu abschließend die Erläuterung aus der Excel-Hilfe:

MINV Gibt die Inverse einer Matrix zurück (die zu einer Matrix gehörende Kehrmatrix).

MMULT Liefert das Produkt zweier Matrizen.

MTRANS Gibt die transponierte Matrix der angegebenen Matrix zurück.

MTRANS muss als Matrixformel in einen Bereich, der über genauso viele Zeilen und Spalten verfügt, bzw. in eine Matrix mit der gleichen Anzahl von Spalten und Zeilen eingegeben werden. Mithilfe von MTRANS können Sie die Zeilen und Spalten einer Matrix in einem Arbeitsblatt austauschen.

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