Excel-Berechnungen am Parallelogramm

Ein Parallelogramm ist eine geometrische ebene Figur. Berechnungen daran war für jeden von uns Gegenstand im Schulunterricht.

Schüler mögen keine Geometrie und kein Excel, habe ich gehört.

Hier im Blog hast Du bereits Berechnungen mit Excel am Kreis, an verschiedenen Dreiecksformen sowie an Quadrat und Rechteck kennengelernt.

Das Parallelogramm ist, wie Rechteck und Quadrat, ein Viereck.

Berechnungen am Parallelogramm sind relativ einfach. Du musst nicht Excel dafür nutzen, aber es geht eben auch mit Excel.

Der Beitrag bietet Beispiele für die Anwendung der Excel-Funktionen SIN, COS, BOGENMASS, ARCSIN, GRAD und WURZEL.

1. Was ist ein Parallelogramm?

Als Parallelogramm wird ein konvexes ebenes Viereck, bei dem gegenüberliegende Seiten parallel sind, bezeichnet.

Als Parallelogramm wird ein Viereck bezeichnet, das aus vier Seiten besteht. Es ist eine geometrische Figur. Die zwei jeweils gegenüberliegenden Seiten sind gleich lang.

Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.

Zwei benachbarte Winkel ergeben zusammen 180°. Die Diagonalen halbieren einander.

Jede Diagonale teilt ein Parallelogramm in zwei gleichsinnig kongruente Dreiecke.

Der Schnittpunkt der Diagonalen bildet das Symmetriezentrum des Parallelogramms.

Beim Parallelogramm können die Fläche, der Umfang, die Länge der Diagonalen, die Innenwinkel und zwei Höhen berechnet werden.

Ein Parallelogramm hat weder einen Innen- noch einen Umkreis, wenn es unterschiedlich lange Seiten hat.

Ein Parallelogramm hat

– genau dann einen Umkreis, wenn es ein Rechteck ist

– genau dann einen Inkreis, wenn es ein Rhombus ist.

Die Abbildung [1] zeigt ein Parallelogramm mit allen möglichen Aspekten.

In einem Beispiel soll ein Parallelogramm mit einer Seitenlänge a = c = 3,7 und einer Seitenlänge b = d = 2,5 gegeben sein. Ob Du als Maßeinheit mm, cm, dm, m oder km wählst, ist Deine Entscheidung.

Mit folgendem Tool kannst Du alle genannten Berechnungen durchführen. Du musst nur die gelben Zellen eingeben. Die Ergebnisse werden mit allen Nachkommastellen ausgewiesen, auf eine Rundung wird verzichtet.

Weitere Varianten des Vorgehens sind möglich, werden aber hier nicht behandelt.

Die Abbildung zeigt ein entsprechendes Tool. Die Seiten a und b sowie die beiden Höhen sind bereits beispielhaft eingetragen.

2. Berechnung des Flächeninhalts

Für die Berechnung der Fläche eines Parallelogramms hast Du verschiedene Möglichkeiten.

Wenn die Höhe h_a bekannt ist, ergibt sich der Flächeninhalt aus der Multiplikation der Seitenlänge a mit der Höhe h_a .

Die Seitenlänge a ist bekannt, sie beträgt 3,7.

Die Höhe h_a soll 2,0 betragen.

Der Flächeninhalt beträgt danach:

A = a * h_a

Daraus ergibt sich die Excel-Formel in C10:

=C2*C7

Ergebnis: 7,4

Ist die Höhe h_b bekannt, multiplizierst Du die Seitenlänge b mit der Höhe h_b .

Die Seitenlänge b beträgt 2,5. Die Höhe h_b soll 2,96 betragen.

Der Flächeninhalt beträgt danach:

A = b * h_b

Die Rechnung mit Excel in C11:

=C3*C8

Ergebnis: 7,4

Eine weitere Möglichkeit, den Flächeninhalt zu berechnen, ist, die Seitenlängen a und b sowie den Sinus des Winkels α zu multiplizieren.

A = a * b * sin(α)

Mit Excel rechnest Du in C12:

=C2*C3*SIN(BOGENMASS(C19))

Ergebnis: 7,4

Wie der Winkel α berechnet wird, siehst Du in Abschnitt 4.

3. Berechnung des Umfangs

Der Umfang berechnet sich, indem die Seiten a und b addiert und das Ergebnis mit 2 multipliziert wird.

Gib in D14 die Formel

=2*(C2+C3)

ein. Als Ergebnis erhältst Du 12,4 in der gewählten Maßeinheit.

4. Berechnung der Innenwinkel

Die Winkel müssen bekannt sein, bevor Du die Diagonalen des Parallelogramms berechnen kannst.

Wenn der Winkel α bekannt ist, lassen sich einfach auch die anderen Winkel ermitteln.

Um den Winkel α zu berechnen, verwendest Du vorhandene Größen und ermittelst zunächst den Sinuswert von α.

Sinus α berechnet sich als Quotient aus Gegenkathete und Hypotenuse.

Die Gegenkathete ist durch die Höhe h_a gegeben, die Hypotenuse ist die Seite d (siehe Skizze). Die Höhe h_a ist hier eine gedachte Linie.

Somit rechnest Du den Sinus α mit der Formel:

=C7/C5

Ergebnis: 0,8

Daraus muss nun der Winkel berechnet werden.

Den Winkel α kannst Du nun auf zweierlei Wegen errechnen.

Zum einen mit der Formel

=ARCSIN(C7/C5)*180/PI()

Ergebnis: 53,130102354156 (Grad)

Zum anderen mit der Formel

=GRAD(ARCSIN(C7/C5))

Ergebnis: 53,130102354156 (Grad)

Winkel α beträgt somit 53,130102354156°, Winkel γ ebenso.

Winkel β beträgt 180° – 53,130102354156° = 126,869897645844°, Winkel δ ebenso.

Damit sind alle Winkel unseres Parallelogramms berechnet und die Berechnung der Diagonalen mit dem Kosinussatz wird möglich.

5. Berechnungen der Länge der Diagonalen

Für die Berechnung der Länge der Diagonalen verwendest Du den Kosinussatz, einen der fundamentalen Lehrsätze der Geometrie, hier dem Gebiet der Trigonometrie zugehörig. Er ist eng verwandt mit dem Satz des Pythagoras. [2]

Kosinussatz

c² = a² + b² – 2 * a *b * cos(γ)

Diagonale e

Ersetze die Formel durch die bekannten Seiten und Winkel:

e² = a² + b² – 2 * a *b * cos(β)

Die Hypotenuse c ist in unserem Fall die Diagonale e.

Die Länge der Diagonalen e errechnet sich nun durch Ziehen der Wurzel.

= WURZEL(a²+b2-2*a*b*cos(β))

Schreibe in Zelle C16 diese Formel:

=WURZEL(C2^2+C3^2-2*C2*C3*COS(C21))

Ergebnis: 3,65284378383914

Diagonale f

Für die Diagonale f wandelst Du die Formel für die Diagonale e so um:

f² = a² + b² – 2 * a *b * cos(α)

Durch Ziehen der Wurzel aus f² errechnest Du die Länge der Diagonale f:

=WURZEL(a²+b2-2*a*b*cos(α))

Schreibe in C17 diese Formel:

=WURZEL(C2^2+C3^2-2*C2*C3*COS(C19))

Ergebnis: 6,14287564083469

6. Berechnung der Höhen

Es kann der Fall auftreten, dass die Höhen nicht, die Innenwinkel aber wohl bekannt sind.

Dann kannst Du, wie nachfolgend erläutert, vorgehen.

Um die Höhe h_a zu errechnen, brauchst Du entweder

Winkel α und Seite d

bzw.

Winkel γ und Seite b

Oder

Fläche A und Seite a

bzw.

Fläche A und Seite c.

Um die Höhe h_b zu errechnen, brauchst Du entweder

Winkel γ und Seite a

bzw.

Winkel α und Seite c

Oder

Fläche A und Seite b

bzw.

Fläche A und Seite d.

Die Formeln kannst Du dem nächsten Bild entnehmen.

Du siehst, dass Du für jede Höhe vier Berechnungsmöglichkeiten hast.

Die jeweils dritte und vierte Möglichkeit ist die Division der Fläche durch eine bekannte Seite.

Beispieldatei zum Download:

Quellen:

[1] https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Parallelogram_measures.svg

[2] https://de.wikipedia.org/wiki/Kosinussatz