Geht Integralrechnung mit Excel?

Integral7

Gleich vorneweg lässt sich festhalten, dass Integralrechnung mit Excel nicht geht. Excel hat dafür keine Funktionen vorgesehen.

Aber, eine Integralrechnung ist dennoch unter Umgehung der komplexen mathematischen Funktionen möglich.

In diesem Beitrag sollen zwei Wege gezeigt werden, mit denen eine Fläche unter einer Funktion berechnet werden kann.

1. Was ist Integralrechnung?

Mit der Integralrechnung lassen sich krummlinig begrenzte Flächeninhalte berechnen.

In diesem Beitrag soll von bestimmten Integralen die Rede sein. Ein bestimmtes Integral entspricht der Fläche zwischen Funktion und x-Achse in einem gegebenen Intervall.

Voraussetzung für die Berechnung von Flächeninhalten muss dabei eine Funktion sein, welche im Intervall stetig, also nicht unterbrochen, ist.

2. Die Basisfunktion

Zur Verdeutlichung ein Diagramm, in dem die Funktion

Integral1

zwischen den x-Werten 0 und 7 dargestellt ist.

Integral2

In diesem Beispiel soll das Integral, die Fläche A unterhalb der Funktion x = 2 bis x = 6 berechnet werden.

Für das Diagramm lag diese Wertetabelle zugrunde:

Integral3

3. Flächenberechnung mathematisch mit dem Integral

Um ein Integral zu berechnen, muss zunächst eine Stammfunktion gebildet werden. Das geschieht folgendermaßen in zwei Schritten:

1. Schritt: Addiere den Exponenten +1 auf

2. Schritt: Multipliziere mit dem Kehrwert des neuen Exponenten

Die Basisfunktion lautete

y = 3 * x²

  1. Schritt: Addiere zum Exponenten +1 dazu. Aus x² wird x³.
  2. Schritt: Multipliziere mit dem Kehrwert des neuen Exponenten. Die Stammfunktion lautet somit:  y = (3 * x³)/3.

Rechne nun mit dieser Formel die y-Werte der Stammfunktion aus:

Integral5

Nun kannst du das Integral, also die gesuchte Fläche im Intervall von 2 bis 6 berechnen. Dazu verwendest du das Integralzeichen.

Integral6

Was besagt diese Formel?

Du errechnest zuerst (3*x³)/3 für den x-Wert 6. Das ergibt laut obiger Werteliste 216.

Dann berechnest du den Funktionswert für den x-Wert 2. Das ergibt 8.

Nun subtrahierst du den kleineren vom größeren Wert: 216 – 8 = 208

Damit hast du die Fläche A aus dem Diagramm oben berechnet. Sie beträgt 208 Flächeneinheiten (FE).

4. Flächenberechnung nach der Trapezregel

Wenn du dich nicht an die Integralrechnung herantraust oder sie nicht magst, kannst du mit der folgenden Näherungsmethode ebenso eine krummlinig begrenze Fläche berechnen.

Dazu will ich die sogenannte Trapezregel anwenden.

Wikipedia beschreibt die Trapezregel so:

Die Trapezregel beschreibt ein mathematisches Verfahren zur numerischen Annäherung des Integrals einer Funktion f(x)�(�) im Intervall [a,b] [�,�].

Dazu ersetzt man die Fläche unter der Kurve y=f(x) �=�(�)im gegebenen Intervall durch ein Trapez oder mehrere gleich breite Trapeze. Es gibt verschiedene Möglichkeiten zur Bestimmung dieser Trapeze: Man kann die Kurve zum Beispiel näherungsweise durch eine Sehne zwischen den Funktionswerten an den Stellen a �und b �ersetzen. Dies führt zur Sehnentrapezformel. Man kann aber auch in der Mitte des Intervalls die Tangente an die Funktion legen und erhält dann die Tangententrapezformel oder Mittelpunktsregel.

https://de.wikipedia.org/wiki/Trapezregel

In diesem Beitrag soll die Sehnentrapezformel Anwendung finden. Die Sehne ist im Diagramm als grüne Linie eingezeichnet.

Integral4 1

Im Diagramm habe ich schon mal die gesuchte Fläche grob markiert.

Das Trapez wird begrenzt durch die rote Linie auf der x-Achse zwischen den Werten 2 und 6, den beiden roten Höhenlinien von 0 bis 2 bzw. von 0 bis 108 und der grünen Sehne.

Wollte man die Fläche mit diesem Trapez errechnen, würde man rechnen:

(8 + 108) / 2 * 4 = 220

8 und 108 sind die y-Werte bei x = 2 und x = 6.

4 ist der Abstand zwischen 6 und 2 auf der x-Achse, der Trapezhöhe.

Das Ergebnis ist im Vergleich zum berechneten Integral doch noch nicht gut genug.

Deshalb werden bei diesem Verfahren viele Trapeze mit einer geringen Höhe gebildet und berechnet.

Verwender wird die Basisfunktion y = 3 * x².

 Die folgende Tabelle zeigt auszugsweise die Berechnung der y-Werte bei einer Veränderung der jeweiligen x-Werte um 0,05. Wählbar ist natürlich auch ein anderer Abstand.

Integral7

In A2 wird die Höhe der schmalen Trapeze eingetragen und kann hier verändert werden.

In C3 und folgende wird die Formel =3*B3^2 eingetragen.

In D4 und folgende wird die Fläche mit der Formel =(C3+C4)/2*(B4-B3) berechnet.

In D84 schließlich werden die Teilflächen addiert. Die gesuchte Fläche beträgt nach dieser Methode 208,005 FE.

Das Ergebnis ist damit gar nicht so weit von der exakten Berechnung unter Abschnitt 3 entfernt.

Verwendest du statt der 0,05 eine Trapezhöhe von 0,01, beträgt der Flächeninhalt 208,0002 FE. Das ist schon ziemlich genau.

Lade dir gern noch die Beispieldatei herunter:

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